1944년 12월 19일, 미국의 물리학자 ‘카오스 이론의 선구자’ 미첼 파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum, 1944 ~ 2019) 출생

1944년 12월 19일, 미국의 물리학자 ‘카오스 이론의 선구자’ 미첼 파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum, 1944 ~ 2019) 출생

미첼 파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum, 1944년 12월 19일 ~ 2019년 6월 30일)은 미국 필라델피아에서 태어난 수리물리학자로 ‘파이겐바움 상수의 발견’을 포함하여 ‘카오스 이론의 선구자’이다.

– 미첼 파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum)
.출생: 1944년 12월 19일, 미국 펜실베이니아 필라델피아
.사망: 2019년 6월 30일, 미국 뉴욕 뉴욕
.국적: 미국
.학력: 매사추세츠 공과대학교, Samuel J. Tilden Educational Campus, 더 시티 칼리지 오브 뉴욕
.업적: 파이겐바움 상수의 발견
.수상: 울프 물리학상, 맥아더 펠로우 프로그램

파이겐바움 상수 (Feigenbaum constant)는 분기도에서 나오는 두 개의 수학 상수를 말하며 이름은 발견자인 미첼 파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum)에서 따왔다.

한편 ‘카오스 이론’ (chaos theory) 또는 혼돈 이론 (混沌理論)은 동역학계 이론에서 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다. 카오스 이론은 무질서하게 보이는 혼돈 상태에도 논리적 법칙이 존재한다는 이론으로, 혼돈계를 연구하는 수학 분야이다.

○ 생애 및 활동

파이겐바움 (Mitchell Jay Feigenbaum)은 1944년 12월 19일 미국 펜실베니아주 필라델피아의 폴란드와 우크라이나에서 온 유대인 이민자 가정에서 태어났다.

뉴욕 브루클린의 새뮤얼 틸든 고등학교와 뉴욕 시티칼리지를 졸업하고, 1964년 매사추세츠 공과대학교 대학원에 들어갔다.

이후 자신의 전공을 전기공학에서 물리학으로 변경했고, 1970년 프랜시스 로 (Francis E. Low) 교수의 지도 아래 분산 관계에 관한 논문으로 박사 학위를 받았다.

코넬 대학교 (1970~1972년)와 버지니아 폴리테크닉 주립 대학교 (1972~1974년)에서 잠시 머무른 후 뉴멕시코주 로스앨러모스 국립 연구소에서 난류 연구를 위한 장기 연구직을 제안받았다.

난류 유동에 관한 완성된 이론을 확립하지는 못했지만 이 연구를 통해 파이겐바움은 카오스 사상을 연구하게 되었다.

1983년 맥아더 펠로우쉽을 받았고, 1986년 록펠러대학교 동료 앨버트 립차버와 함께 “혼돈 이론의 체계적인 연구를 카능하게 하는 비선형계의 보편적인 특성을 보여주는 선구적인 이론적 연구”를 한 공로로 물리학 부문 울프상을 수상했다.

이후 스크립스 연구소 이사회의 일원이 되었고, 1986년부터 사망할 때까지 록펠러대학교의 수리물리학 연구소 토요타 교수직을 지냈다.

2019년 6월 30일, 74세의 나이로 사망했다.

• 파이겐바움 상수 (Feigenbaum constant)

파이겐바움 상수 (Feigenbaum constant)는 로지스틱 맵에서와 같은 분기 다이어그램에서 나오는 두개의 수학 상수를 말한다.

분기 다이어그램에서 나오는 두개의 수학 상수를 말한다.

.첫번째 상수 (OEIS의 수열 A006890),
delta(δ) = 4.66920160910299067185320382…는 분기가 일어나는 간격의 비의 수렴값으로 정의된다. 본래는 로지스틱 맵에서 주기가 두배로 늘어나는 분기의 간격의 비로서 발견되었지만, 일반적인 카오스시스템이 같은 비로 분기가 일어난다는 것이 증명되었다.

.두번째 상수 (OEIS의 수열 A006891)
alpha(α) = 2.502907875095892822283902873218…는 뽀족한 살과 작은 살의 비로서 정의된다.

파이겐바움 상수들은 카오스 이론의 선구자 중 한사람으로 수리물리학자 미첼 파이겐바움이 발견하였다.

<파이겐바움>이 발견에 이를 수 있었던 것은 속도가 느린 계산기 덕분이었다.

각 주기 배가의 정확한 매개 변수값을 계산하는 데는 오랜 시간 – 그래 봐야 몇분이지만 – 이 걸렸다.

주기 배가의 열이 높아지면 높아질수록 시간이 더 오래 걸렸다.

성능 좋은 컴퓨터와 출력기를 가지고 있었다면, <파인겐바움>은 아무런 패턴도 관찰하지 못했을지도 모른다.

그러나 그는 숫자들은 손으로 써야만 했고, 그러고 나서 기다리는 동안 그 수들에 대해서 생각해야만 했으며, 시간을 절약하기 위해 그 다음 해답이 어디 있을 것인가를 추측해야만 했다.

곧 <파이겐바움>은 추측할 필요가 없다는 것을 깨닫는다.
이 계 안에는 예상밖의 규칙성이 숨어 있었다.

원근법 그림에서 같은 모양의 전신주 열이 지평선을 향하여 수렴하는 것처럼 수들이 기하학적으로 수렴하고 있었던 것이다.

만약 우리가 나란히 서 있는 두 전신주의 크기를 안다면, 나머지 모든 전신주의 크기를 알수 있다.
즉 첫번째 전신주에 대한 두번째 전신주의 비율은 두번째 전신주에 대한 세번째 전신주의 비율과 같을 것이다.

주기의 배가는 그저 빨라지는 것이 아니라 일정한 비율로 빨라지고 있었다.
왜 그렇게 되어야만 할까?

대개 기하학적 수렴이 존재한다는 것은 뭔가가 어딘가에서 다른 축척으로 자신을 되풀이하고 있다는 것을 암시한다.

하지만 설령 이 방정식 내부에 그러한 축척의 패턴이 있다 할지라도, 어느 누구도 그것을 본 적이 없었다.

<파이겐바움>은 자신의 계산기로 가장 정밀하게(소수점 세자리) 수렴의 비율을 계산하여 4.669 라는 수를 찾아냈다.

이 비율은 무엇을 의미할까?

<파이겐바움>은 수에 관심을 가지고 있는 사람이라면 해야 하는 일을 진행한다.

원주율(π)과 자연로그의 밑수(ℯ)등 모든 표준 상수들에 그 숫자를 맞추면서 나머지 하루를 보낸 것이다.

그러나 어떤 표준 상수의 변형은 아니었다.

이상하게도 <로버트 메이>는 역시 이런 기하학적 수렴을 보았다는 것을 뒤늦게 깨달았다.

하지만 메이는 이를 보자마자 잊어버리고 만다.

메이에게는 이런 수렴이 기이한 숫자 그 이상도 이하도 아니었다.

메이가 생각하던 동물 군집의 계나 경제 모델 계와 같은 현실계에서는 불가피하게 발생하는 잡음이 그와 같은 정밀한 세부사항들을 압도했던 것이다.

그런데 메이를 그때까지 인도했던 바로 그 혼잡성이 결정적인 지점에서 그를 멈추게 했다.

방정식의 전체적 행태 때문에 흥분을 감추지 못하던 메이는 그 수의 내용이 중요한 것으로 입증되리라고는 상상도 못했던 것이다.

반면 <파이겐바움>은 자신이 찾는 것이 무엇인지를 잘 알았다.

왜냐하면 기하학적 수렴이 존재한다는 것은 이 방정식 안에 있는 뭔가가 바로 ‘축척’이라는 것을 의미하기 때문이다.

그는 축척의 중요성을 잘 알고 있었다.
모든 재규격화군 이론은 축척에 의존했다.

일견 다루기 어려워 보이는 계에서 축척은 다른 모든 것이 변하고 있는 동안에도 변하지 않는 어떤 성질이 존재한다는 것을 의미했다.

방정식의 혼란한 표면 아래 규칙성이 놓여 있었다.
하지만 어디에 있는 것일까?
앞으로 무슨 일을 해야 할지 막막했다.

지대가 높아 공기가 희박한 로스앨러모스에서 여름은 빠르게 가을로 바뀌는데, <파이겐바움>이 독특한 사유에 끌리게 된 때는 10월이 거의 끝나갈 무렵이었다.

<파이겐바움>은 다른 방정식들을 연구하던 메트로폴리스, <폴 슈타인>이 어떤 패턴들은 한 종류의 함수에서 다른 종류의 함수로 넘어간다는 것을 발견했음을 알게 된다.

R과 L의 똑같은 결합들이 그것도 똑같은 순서로 나타났다.
하나의 함수는 어떤 수의 사인을 포함하고 있었는데, 사인 함수는 <파인겐바움>이 포물선 방정식에 주의 깊게 애써서 접근한 것을 무의미하게 만들어버렸다.

다시 시작해야만 했다.

<파인게바움>은 HP-65 계산기를 들고 xt+1 = rsinπxt에 대한 주기 배가를 계산하기 시작했다.

삼각함수를 계산해야 했기 때문에 훨씬 시간이 걸렸다.

<파이겐바움>은 방정식을 더 단순하게 변형시킴으로써 좀 더 빨리 해결할 수 있을지 궁금했다.

수들을 자세하고도 확실히 조사하자 수들이 또다시 기하학적으로 수렴하고 있었다.

문제는 이 새로운 방정식의 수렴 비율을 계산하는 것 뿐이었다.

정밀도에는 한계가 있었지만, 그는 다시 소수점 세자리 즉 4.669 라는 결과치를 계산해냈다.

똑같은 수치였다.

놀랍게도 이 삼각함수는 일관된 기하학적 규칙성만 나타내는게 아니었다.

훨씬 더 단순한 함수의 규칙성과 수치상으로 ‘동일한’ 규칙성을 나타내고 있었던 것이다.

형태와 의미가 매우 다른 2개의 방정식이 똑같은 결과치를 가져하는 이유를 설명하는 수학적, 물리학적 이론도 없었다.

<파이겐바움>은 <폴 슈타인>에게 전화했다.

슈타인은 근거도 불충분한 우연의 일치를 믿으려 하지 않았다.

어째 됐든 정확함이 떨어진다는 말이었다.

그럼에도 <파이겐바움>은 뉴저지에 살고 있던 부모에게 또 전화를 걸어 자신이 뭔가 심오한 것을 우연히 발견했다고 말했다.

어머니에게는 이 발견이 자신을 유명하게 만들 것이라고도 했다.

이후 <파이겐바움>은 다른 함수들, 즉 자신이 생각하기에 연속적 주기 배가를 통해 무질서에 이르는 함수라면 뭐든 연구하기 시작했다.

모두 다 똑같은 숫자가 나왔다.

<파이겐바움>은 평생을 수와 씨름하며 보낸 사람이었다.
10대 때는 대부분의 학생들이 표를 이용해서 찾던 로그값과 사인값을 계산하는 방법을 알았다.

그러나 자신의 휴대 계산기보다 큰 컴퓨터를 사용하는 방법을 배운 적은 없었다.

이런 점에서 <파이겐바움>은 컴퓨터 연구가 함의하는 기계론적 사고를 경멸하는 물리학자들과 수학자들을 대표했다.

그렇지만 이제는 상황이 달라졌다.

<파이겐바움>은 동료에게 포트란을 배워 밤늦도록 상수를 소수점 다섯 자리인 4.66920 까지 계산해냈다.

그날 밤 매뉴얼에서 정밀도를 두배로 올리는 법에 대해 읽은 그는 다음 날 4.6692016090 까지 계산해냈다.

<슈타인>을 납득시키고도 남을 만큼 정확한 수치였다.

그럼에도 아직 미심쩍은 부분이 남아 있었다.

<파이겐바움>은 규칙성을 찾기 시작했다.

수학을 이해한다는 것은 바로 규칙성을 찾는다는 말이었다.

또한 특정한 방정식은 특정한 물리계와 마찬가지로 독특한 형태를 보인다는 것을 ‘알기’ 시작한다.

어쨌든 이런 방정식들은 단순했다.

<파이겐바움>은 2차 방정식을 이해했고, 사인 방정식도 이해했다. 아주 쉬운 수학이었다.

그럼에도 매우 상이한 이들 방정식의 중심에 있는 뭔가가 반복적으로 하나의 단일한 숫자를 만들어냈다.

<파이겐바움>은 우연히 뭔가를 발견하게 된다.

어쩌면 단순한 호기심거리일지도 모르고 어쩌면 자연의 새로운 법칙일지도 몰랐다.

○ Works

Feigenbaum, Mitchell J. (May 1983). “Universal behavior in nonlinear systems” (PDF). Physica D: Nonlinear Phenomena. 7 (1–3): 16–39. A semipopular account of the universal scaling theory for the period doubling route to chaos is presented.

“Feigenbaum, Mitchell J.” Publications. Astrophysics Data System.

Feigenbaum, Mitchell J. (1 July 1978). “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”. Journal of Statistical Physics. 19 (1): 25–52.

Feigenbaum, Mitchell J. (March 1987). “Some characterizations of strange sets”. Journal of Statistical Physics. 46 (5–6): 919–924.

참고 = 위키백과, 카오스(James Gleick 저)

크리스천라이프 편집부