1866년 7월 20일, 독일 수학자 베른하르트 리만 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 ~ 1866) 별세
게오르크 프리드리히 베른하르트 리만 (독: Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826년 9월 17일 ~ 1866년 7월 20일)은 독일의 수학자이다.
– 베른하르트 리만 (Georg Friedrich Bernhard Riemann)
.출생: 1826년 9월 17일, 독일 브레젤렌츠 (Breselenz)
.사망: 1866년 7월 20일, 이탈리아 셀라스카 (Selasca)
.국적: 독일
.분야: 수학
.배우자: 엘리제 코흐 (Elise Koch)
.지도 교수: 카를 프리드리히 가우스
.지도 학생: 구스타프 로흐
.주요 업적: 리만 가설, 리만 계량, 리만 곡률 텐서, 리만 곡면, 리만 구, 리만 기하학, 리만 다양체, 리만-로흐 정리, 리만-르베그 보조정리, 리만 사상 정리, 리만 재배열 정리, 리만 적분, 리만 제타 함수, 리만 합
코시-리만 방정식
해석학, 미분기하학에 혁신적인 업적을 남겼으며, 리만 기하학은 일반 상대성 이론의 기술에 사용되고 있다.
그의 이름은 리만 적분, 코시-리만 방정식, 리만 제타 함수, 리만 다양체 등의 수학 용어에 남아 있다.
그는 리만 가설을 최초로 고안한 수학자로도 유명하다.
○ 생애 및 활동
- 초년
현재 독일의 다넨베르크 (Dannenberg) 근처인 하노버 왕국의 한 마을에서 태어났다. 부친 프리드리히 베른하르트 리만 (Friedrich Bernhard Riemann)은 루터 교회의 가난한 목사였고, 리만은 6명의 자녀들 중 둘째였다. 어머니를 일찍 여의었다고 한다. 부끄러움을 잘 타고, 자주 신경쇠약에 시달렸다. 어릴 적부터 보기 드문 수학적 재능을 나타냈지만, 대중 앞에서 말하기에는 너무 수줍음을 잘 타는 편이었다.
- 성장기
1840년 할머니와 살면서 중학교 (lyceum, middle school)를 다니기 위해서 하노버(Hanover)에 갔다. 1842년 할머니가 세상을 떠나자, 요하네움 뤼넨부르그 (Johanneum Lüneburg)에 있는 고등학교에 진학하였다. 고등학교 시절, 성경을 열심히 공부하면서도 그의 관심은 자주 수학으로 돌아가곤 했다. 심지어 창세기의 정확성을 수학적으로 증명할 생각까지 했다. 담당 교사는 자신이 가르치는 제자의 천재성을 간파했고, 그가 복잡하기 짝이 없는 수학 문제를 풀어내는 것을 보고 감탄하였다. 당연히 그 제자는 교사의 수학 (授學) 능력 범위를 벗어나곤 했다. 1846년 리만이 19세였을 때, 목사가 되어서 가계 (家計)에 보탬이 되기 위해서, 철학과 신학을 공부하기 시작했다. 1847년 아버지로부터 신학 공부를 그만두고 수학을 공부해도 좋다는 허락을 받고, 자코비 (Jacobi), 디리클레 (Dirichlet), 슈타이너 (Steiner) 등이 가르치는 독일 베를린으로 가서, 2년동안 머물렀다가 1849년 독일 괴팅겐 (Göttingen)으로 돌아왔다.
- 성년
짧은 일생을 통해서 발표한 논문의 수는 비교적 적지만, 수학의 각 분야에서 획기적인 업적을 남겼다.
복소함수론 (複素函數論)에서 복소 로그나 제곱근 같은 1대1이 아닌 함수의 역을 고려하는 경우에 어울리는 리만 면을 정의하였고, 복소기하학의 초창기에 해당한다고 평가된다.
리만 사상 정리를 통해 복소 평면 상에서 하는 해석학에서 근본적인 정의역의 종류에 대한 위상 수학적인 고찰을 하였고 이를 앙리 푸앵카레가 균일화 정리로 일반화 하였다.
1854년 교수 자격 취득 논문에서 그는 리만 적분을 정의하고, 삼각 급수의 수렴 (收斂)에 관한 조건을 제시했는데, 이 적분의 정의인 함수가 적분된다는 것은 무엇을 뜻하는지를 나타낸 것이었다.
이후 1900년대에 접어들면서 H. 르베그에 의해서 르베그 적분이라는 더욱 포괄적인 정의가 도입되었다.
1854년 취임 강연에서 그는, 기하학의 기초를 논하면서 리만 공간의 개념을 도입해서 리만 공간의 곡률 (曲率)을 정의하였다. 이는 리만 기하학으로 부른다.
생애 마지막에 가까워서는 W. E. 베버의 영향을 받아서, 이론 물리학에 흥미를 가졌으며, 물리학에서 사용되는 편미분방정식 (偏微分方程式)에 관해서 강의하였고, 그가 죽은 뒤 베버에 의해서 출판되었다.
- 사망
리만은 40세 생일의 두 달 전인 1866년 7월 20일 사망했다.
○ 리만 사상 정리
복소해석학에서 리만 사상 정리 (寫像定理, Riemann mapping theorem)는 복소평면의 구멍이 없는 두 부분집합은 항상 쌍정칙 함수를 통해 동형이라는 정리다.
1851년에 베른하르트 리만이 박사 학위 논문에서, U,U’이 조각마다 매끄럽다는 가정 아래 이 정리를 증명하였다. 이 증명에서 리만은 디리클레 원리를 사용하였는데, 당시 이 원리는 “당연히” 옳다고 여겨졌다. 그러나 이후 카를 바이어슈트라스가 디리클레의 원리가 특수한 경우 성립하지 않는다는 반례를 제시하였고, 이후 다비트 힐베르트는 경계가 조각마다 매끄럽다는 가정 아래, 리만의 원래 증명에서 사용되는 형태의 디리클레의 원리가 옳다는 것을 보였다.
1912년에 콘스탄티노스 카라테오도리가 경계에 대한 아무런 추가 조건 없이 리만 사상 정리를 증명하였다. 이후 1922년에 리스 프리제시와 페예르 리포트 (헝: Fejér Lipót)가 카라테오도리의 증명보다 더 간단한 증명을 발표하였다.
○ 리만 가설
수학자 베른하르트 리만이 세운 가설이다. 힐베르트의 23가지 문제와 밀레니엄 문제에 모두 해당하는 유일한 문제로, 정수론 최고난도 문제다. 아직 증명되지 않은 난제가 수학계에 많이 있지만, 그나마 수학을 전공하지 않은 일반인에게도 인지도가 있고 실제로도 가장 어려운 문제 중 하나로 인식된다.
○ 리만에 대한 일화
수학의 황제라고 불리는 가우스는 리만의 박사 학위 논문을 보고, “박사 학위 논문이라고 볼 수가 없는 대논문”이라는 찬사를 쉴 틈 없이 보냈다고 한다. 가우스가 말을 별로 하지 않는 성격이었다는 것을 감안한다면, 리만의 논문이 얼마나 뛰어났는지 짐작할 수 있다.
○ 주요 생애 및 업적
게오르크 프리드리히 베른하르트 리만 (Georg Friedrich Bernhard Riemann)은 19세기 수학의 패러다임을 바꾼 세계 역사상 가장 위대한 독일의 수학자 중 한 명이다.
39세라는 젊은 나이에 결핵으로 세상을 떠났지만, 그가 남긴 독창적인 아이디어들은 현대 수학과 물리학의 주춧돌이 되었다.
그의 생애와 수학적 핵심 업적을 요약하면 다음과 같다.
- 생애와 인성
목사의 아들: 가난한 루터교 목사의 가정에서 태어나 평생 독실한 기독교 신자로 살았다. 원래 부친의 뜻에 따라 신학과 철학을 공부하려 했으나, 그의 천재성을 알아본 괴팅겐 대학교의 스승 칼 프리드리히 가우스의 권유로 수학자의 길을 걷게 되었다.
내성적인 천재: 매우 수줍음이 많고 대중 앞에서 말하기를 두려워하는 성격이었다. 건강이 늘 나빴고 평생 경제적 궁핍에 시달렸다.
이른 죽음: 1859년 가우스의 뒤를 이어 정교수가 되며 안정적인 삶을 찾는 듯했으나, 곧바로 결핵을 얻었다. 따뜻한 이탈리아로 요양을 떠났지만 끝내 회복하지 못하고 1866년 숨을 거두었다. 죽기 직전까지도 무화과나무 아래에서 마지막 연구를 이어갔다고 전해진다.
- 주요 수학적 업적
리만 기하학 (Riemannian Geometry): 가우스의 지도 아래 발표한 교수 자격 학위 논문에서 유클리드 공간을 벗어난 고차원 곡선 공간의 개념을 정립했다. 이는 훗날 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 지탱하는 수학적 뼈대가 되었다.
리만 가설 (Riemann Hypothesis): 1859년 소수의 분포에 관한 논문에서 제시한 가설이다. 수학계 최고의 난제 중 하나로, 현재까지도 미해결 상태이며 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제로 지정되어 있다.
리만 적분 (Riemann Integral): 고등학교 수학에서 배우는 가장 대중적이고 엄밀한 적분의 정의를 확립하여 실해석학 발전에 크게 기여했다.
리만 곡면 (Riemann Surface): 복소수 함수를 기하학적으로 다룰 수 있는 다차원 곡면 개념을 도입하여 복소해석학의 새로운 지평을 열었다.
○ 저서
독일의 천재 수학자 베른하르트 리만은 생전 건강 악화와 짧은 생애 (향년 39세)로 인해 단 한 권의 단독 단행본도 출간하지 않았으며, 그의 주요 업적은 대학 학위 논문, 교수 자격 취득 논문, 그리고 괴팅겐 한림원에 제출한 소수의 단편 논문 형태로 세상에 나왔다. 그가 남긴 기념비적인 논문들과 사후에 출간된 전집은 다음과 같다.
- 역사적인 주요 논문 (저서 역할을 하는 핵심 논문)
《복소변수 함수론 기초 연구》 (1851년) : 리만의 괴팅겐 대학교 박사학위 논문이다. 기하학적 관점을 복소해석학에 도입하여 ‘리만 곡면’의 개념을 처음으로 제안한 역사적 저술이다.
《기하학의 기초에 있는 가설들에 관하여》 (1854년 제출, 1867년 사후 출간) : 리만이 괴팅겐 대학교 교수 자격을 얻기 위해 가우스 앞에서 발표한 논문이다. 기존 유클리드 기하학을 뛰어넘어, 휘어진 공간을 수학적으로 다루는 리만 기하학의 서막을 열었다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 핵심 수학적 토대가 된 논문이기도 하다.
《주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여》 (1859년) : 리만이 괴팅겐 한림원 회원으로 선출되면서 제출한 단 8페이지짜리 논문이다. 해석적 정수론의 정점이자 현대 수학 최대의 미해결 난제인 리만 가설이 이 논문에서 처음 등장했다.
《임의의 함수를 삼각급수로 표현할 가능성에 관하여》 (1854년 제출, 1867년 사후 출간) : 푸리에 급수의 수렴 조건을 연구하며 제출한 교수 자격 논문 중 하나다. 고등학교 및 대학 과정에서 배우는 정적분의 수학적 정의인 리만 적분이 이 논문을 통해 정립되었다.
- 사후 출간된 전집 및 유고집
리만이 세상을 떠난 후, 그의 동료들과 후대 수학자들이 흩어져 있던 논문과 강의록, 노트를 모아 책 형태로 발간했다.
《베른하르트 리만 수학 전집 및 유고》 (1876년) : 리만의 절친한 동료였던 수학자 리하르트 데데킨트와 하인리히 베버가 리만의 생전 논문과 미공개 원고를 집대성하여 출간한 공식 전집이다.
《타원함수론 강의》 (1899년) : 리만이 괴팅겐 대학교에서 강의했던 내용을 바탕으로 사후에 편집 및 복원되어 출간된 강의록이다.
《수리물리학의 부분미분방정식》 (1869년)리만의 물리 수학 강의를 바탕으로 동료 수학자 카를 하텐도르프가 정리하여 발간한 저서다.
- Writings
Riemann’s works include:
1851 – Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inaugural dissertation, Göttingen, 1851.
1857 – Theorie der Abelschen Functionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 54. S. 101–155.
1859 – Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, in: Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Berlin, November 1859, S. 671ff. With Riemann’s conjecture. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. (Wikisource), Facsimile of the manuscript Archived 2016-03-03 at the Wayback Machine with Clay Mathematics.
1861 – Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae, submitted to the Paris Academy for a prize competition
1867 – Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
1868 – Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868. Translation EMIS, pdf On the hypotheses which lie at the foundation of geometry, translated by W.K.Clifford, Nature 8 1873 183 – reprinted in Clifford’s Collected Mathematical Papers, London 1882 (MacMillan); New York 1968 (Chelsea) http://www.emis.de/classics/Riemann/. Also in Ewald, William B., ed., 1996 “From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics”, 2 vols. Oxford Uni. Press: 652–61.
1876 – Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. herausgegeben von Heinrich Weber unter Mitwirkung von Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2. Auflage 1892, Nachdruck bei Dover 1953 (with contributions by Max Noether and Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Later editions The collected Works of Bernhard Riemann: The Complete German Texts. Eds. Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017
1876 – Schwere, Elektrizität und Magnetismus, Hannover: Karl Hattendorff.
1882 – Vorlesungen über Partielle Differentialgleichungen 3. Auflage. Braunschweig 1882.
1901 – Die partiellen Differential-Gleichungen der mathematischen Physik nach Riemann’s Vorlesungen. PDF on Wikimedia Commons. On archive.org: Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). “Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann’s Vorlesungen”. archive.org. Friedrich Vieweg und Sohn. Retrieved 1 June 2022.
2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected papers, Kendrick Press, Heber City, UT,
참고 = 위키백과, 나무위키
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