1906년 4월 28일, 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델 (Kurt Gödel, 1906 ~ 1978) 출생

1906년 4월 28일, 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델 (Kurt Gödel, 1906 ~ 1978) 출생

쿠르트 괴델 (독: Kurt Gödel, 1906년 4월 28일 ~ 1978년 1월 14일)은 불완전성의 정리로 유명한 수학자이자 논리학자이다. 오스트리아-헝가리 제국의 모라바 (현 체코 공화국의 브르노)에서 태어났다.

– 쿠르트 괴델 (Kurt Gödel)

.출생: 1906년 4월 28일, 체코 브르노

.사망: 1978년 1월 14일, 미국 뉴저지 프린스턴

.국적: 독일, 미국, 오스트리아, 체코

.배우자: Adele Nimbursky Porkert (1938 ~ 1978년)

.영향을 준 인물: 고틀로프 프레게, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 이마누엘 칸트, 아이작 뉴턴

.수상: 알베르트 아인슈타인 상, 미국 국가 과학상 수학 및 컴퓨터 과학 부문

쿠르트 괴델 (Kurt Gödel)은 20세기 최고의 논리학자로 꼽히는 오스트리아-미국 출신의 수학자이자 철학자다.

아리스토텔레스 이후 가장 위대한 논리학자로 평가받기도 하는 그는 수학의 기초를 뒤흔든 ‘불완전성 정리’로 가장 잘 알려져 있다.

주요 업적으로 완전성 정리와 불완전성 정리의 증명과 연속체 가설의 상대적 무모순성이 잘 알려져 있다.

○ 생애 및 활동

유복한 시민계급 일가에서 태어났으며 아버지는 루돌프 괴델, 어머니는 마리안 괴델이다.

어려서부터 건강이 좋지 않았으나 거의 모든 학과목에서 우수한 성적을 거둔다. 1912년 사립 시민학교에 입학하고 4년 뒤에는 제국 국립 김나지움(대한민국의 중고등학교에 해당)에 들어간다.

1924년 빈 대학 물리학과에 입학한다. 대학 시절 그는 모리츠 슐리크 (독: Moritz Schlick)가 주도하던 빈 학파 (Wiener Kreis)의 모임에 나간다.

1928년에는 후에 반려자가 된 아델 포르케르트 (Adele Porkert, 1899 ~ 1981)를 알게 된다.

카를 멩거의 수학 콜로퀴움에 참석하고 1929년에 「제1단 술어논리의 완전성 정리」를 제출하여 1930년 2월 6일 박사 학위를 받는다.

다음 해인 1931년에는 20세기 수학기초론, 논리학에서 가장 중요한 발견으로 여겨지는 「불완전성 정리」를 발표한다.

이는 다비트 힐베르트가 수학의 무모순성을 증명하기 위해 추진했던 「힐베르트 프로그램」의 일부로 연구되었던 것이지만, 「수학은 자신의 무모순성을 증명할 수 없다」는 것을 보인 불완전성 정리는 거꾸로 그 프로그램에 크나큰 타격을 주었다.

불완전성은 존 폰 노이만 등 당대 1류 학자들의 격찬을 받아 「인간 이성의 한계를 보여줬다」는 평을 받았다.

그 외 업적으로는 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 괴델 우주 등이 있다.

괴델은 빈 대학 강사로 근무하였지만, 1940년 즈음 나치 독일을 피해 아내 아델과 미국으로 이주한다.

후에 미국 시민권을 얻고 프린스턴 고등연구소의 교수가 되었다.

그 연구소에서 알베르트 아인슈타인과 친가족과 같이 친밀하게 교류하였고 물리학, 철학 등에 대해 의견을 나누었다고 한다.

말년에는 극히 내성적이 되었으며 극도의 건강염려증, 피해망상에 시달렸다.

누군가가 독살하려 한다는 망상으로 부인이 해 주는 식사 이외에는 입에 대지 않았다. 자신의 방에 틀어박혀 다른 사람과 만나지도 않았으며, 신의 존재를 증명하는 데에 매달려 있었다.

결국에는 부인이 입원해 있는 동안 1978년 1월 14일, 미국 뉴저지 프린스턴에서 굶어 별세했다.

• 생애와 일화

출생 및 활동: 1906년 오스트리아-헝가리 제국 (현재의 체코 브르노)에서 태어났으며, 빈 대학교에서 활동하다가 나치를 피해 미국으로 건너가 프린스턴 고등연구소에서 연구를 이어갔다.

괴델의 허점 (Loophole): 미국 시민권 심사를 받을 때 헌법을 분석하여, 합법적인 방법으로 독재자가 탄생할 수 있는 ‘헌법적 모순’을 발견했다고 주장한 일화가 유명하다.

비극적인 최후: 말년에는 누군가 자신을 독살하려 한다는 극심한 피해망상에 시달렸다. 아내가 병원에 입원해 음식을 챙겨주지 못하게 되자, 아내가 만든 음식 외에는 전혀 먹지 않아 결국 1978년 영양실조로 사망했다.

• 신 존재 증명

라이프니츠에 대한 괴델의 존경과 집착은 계속되었는데, 괴델은 괴델의 신 존재 증명 (Gödel’s ontological proof)라는 모달 논리 기반으로 기호논리학적으로, 그리고 형식적으로 신의 존재를 정리하였다.

중세 신학자 안셀무스 (Anselm of Canterbury)의 논증, 그리고 데카르트와 라이프니츠의 개량을 이어받아, 현대 기호논리학의 엄밀한 언어로 재정식화한 것이 특징이다.

괴델은 이것을 증명이라기보단 논리학적인 실험 정도로 생각한 것으로 보이며, 자신이 종교적인 인물로 보일까봐, 그리고 대중들이 오해할까봐 발표를 극히 꺼렸다. 때문에 괴델 사후에야 원고가 발표되었다.

• 불완전성 (不完全性 定理, incompleteness theorems)

우리가 사용하고 있는 수학 체계가 잘못되지 않았다면 반드시 증명할 수 없는 명제를 가진다는 정리이다. 공리계의 완전성을 그 공리계 내부의 논리로 증명하는 것은 순환논증의 오류에 해당하기 때문이다.

쿠르트 괴델이 1931년에 발표한 정리이다. 19세기 해석학 (수학)의 발달 및 비유클리드 기하학의 본격적인 등장으로부터 촉발된 수학 기초론의 대표적인 성과로서, 현대 논리학의 토대가 되는 동시에 20세기 수학 및 철학, 컴퓨터과학 등 많은 분야에 큰 영향을 미쳤다.

술어 논리는 일상적으로 사용되는 명제 논리라고 불리는 논리를 확장한 것으로 기호를 사용하여 논리를 표현한다. 괴델은 이런 1차 술어 논리에 대한 완전성 정리를 1929년 23세 때 제출한 박사논문에서 증명했다. 불완전성 정리는 2년 후 25세에 증명한 것이다.

비슷한 이름의 개념으로 하이젠베르크가 발견한 물리학의 불확정성 원리, 케네스 애로우가 증명한 경제학의 불가능성 정리, 언어철학에서 콰인이 제시한 번역 불확정성 논제 그리고 수리 논리학에서 타르스키가 증명한 타르스키의 정의 불가능성 정리가 있다.

.정리
불완전성 정리는 “제1 불완전성 정리”와 “제2 불완전성 정리”라는 두 정리를 아우르는 말이다.

제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.

페아노 공리계란 우리가 사용하고 있는 자연수에 관한 공리를 말한다.1+1=21+1=2라는 것도 이를 통해 정의된 것이다. 그런데 이 공리를 포함하는 체계가 모순이 없다면 참인데 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것이다.

• 완전성 정리 (Completeness Theorem)

1929년 박사 학위 논문에서 1차 술어 논리의 완전성을 증명하여 수리 논리학의 기초를 확립했다.

• 일반 상대성 이론 기여

알베르트 아인슈타인과 절친한 사이였으며, 아인슈타인의 방정식에서 ‘회전하는 우주 (괴델 우주)’라는 새로운 해를 찾아내어 시간 여행의 이론적 가능성을 제시하기도 했다.

○ 저서

20세기 최고의 논리학자로 꼽히는 쿠르트 괴델 (Kurt Gödel)은 생전 방대한 양의 저술보다는 수학과 철학의 근간을 뒤흔든 몇 편의 결정적인 논문과 저서를 남겼다.

그의 가장 핵심적인 저술과 연구 성과는 다음과 같다.

• 주요 저서 및 논문

《집합론 공리와 선택 공리 및 일반화된 연속체 가설 사이의 무모순성》 (The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory, 1940): 현대 수학의 고전으로 꼽히는 저서로, 선택 공리와 연속체 가설이 집합론의 표준 공리계 (ZF)와 모순되지 않음을 증명했다.

〈《수학 원리》 및 관련 체계들의 형식적으로 결정 불가능한 명제들에 대하여 I〉 (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931): 그의 가장 유명한 업적인 ‘불완전성 정리’가 발표된 논문이다.

〈술어 계산 공리의 완전성〉 (Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, 1929): 괴델의 박사 학위 논문으로, 1차 술어 논리의 ‘완전성 정리’를 증명했다.

• 주요 연구 분야 및 성과

불완전성 정리 (Incompleteness Theorems): 산술을 포함하는 무모순적 공리계에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재하며, 공리계 내부에서는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없음을 밝혀냈다.

괴델 해 (Gödel Metric): 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에 대한 해 중 하나로, ‘시간 여행’이 이론적으로 가능한 괴델 우주 모델을 고안했다.

괴델의 증명 (Gödel’s Proof): 그의 논리는 컴퓨터 과학의 이론적 기초인 알고리즘 집합 개념의 정의에 기여하였으며, 이후 앨런 튜링의 연구에도 큰 영향을 주었다.

• Bibliography

* Important publications

– In German:

1930, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls.” Monatshefte für Mathematik und Physik 37: 349–60.
1931, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.” Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
1932, “Zum intuitionistischen Aussagenkalkül”, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.

– In English:

1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
1947. “What is Cantor’s continuum problem?” The American Mathematical Monthly 54: 515–25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470–85.
1950, “Rotating Universes in General Relativity Theory.” Proceedings of the international Congress of Mathematicians in Cambridge, Vol. 1, pp. 175–81.

– In English translation:

Kurt Gödel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
Kurt Gödel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
1930. “The completeness of the axioms of the functional calculus of logic,” 582–91.
1930. “Some metamathematical results on completeness and consistency,” 595–96. Abstract to (1931).
1931. “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems,” 596–616.
1931a. “On completeness and consistency,” 616–17.
“My philosophical viewpoint”, c. 1960, unpublished.
“The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy”, 1961, unpublished.
Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
Volume I: Publications 1929–1936
Volume II: Publications 1938–1974
Volume III: Unpublished Essays and Lectures
Volume IV: Correspondence, A–G
Volume V: Correspondence, H–Z
Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks: De Gruyter: Berlin/München/Boston. Editor: Eva-Maria Engelen [de].
Volume 1: Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0
Volume 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II / Time Management (Maxims) I and II
Volume 3: Maximen III / Maxims III

참고 = 위키백과

크리스천라이프 편집부