1940년 6월 27일, 미국의 수학자 대니얼 퀼런 (Daniel Gray Quillen, 1940 ~ 2011) 출생
대니얼 그레이 퀼런 (Daniel Gray Quillen, 1940년 6월 27일 ~ 2011년 4월 30일)은 미국에서 태어난 수학자이다.
– 대니얼 퀼런 (Daniel Gray Quillen)
.출생: 1940년 6월 22일, 미국 뉴저지주 오렌지(Orange)
.사망: 2011년 4월 30일(70세), 미국 플로리다주 게인즈빌
.국적: 미국
.분야: 수학
.지도 교수: 라울 보트
.주요 업적: 대수적 K이론, 모형 범주, 퀼런 수반 함자, 유리수 호모토피 이론, 퀼런 완전 범주
.수상: 필즈상 (1978), Cole Prize (1975), Putnam Fellow (1959)
○ 생애 및 활동
미국에서 태어났고, 미국 하버드 대학교에서 1961년에 학사 학위를, 1964년에 박사 학위를 마쳤다.
잠시 매사추세츠 공과대학교에 몸을 담았다가, 영국 옥스퍼드 대학교의 모들린 칼리지 (Magdalen College)로 옮겨 웨인플레트 (Waynflete) 석좌 교수가 되었다.
1960년대 후반에서 1970년대 초반에 만든 고차 대수 K이론 (higher algebraic K-theory)에 대한 업적을 평가받아 1978년 필즈상을 수상하였다.
2011년 4월 30일 (향년 70세), 미국 플로리다주 게인즈빌에서 별세하였다.
○ 업적
- 대수적 K이론
수학에서, 대수적 K이론 (代數的K理論, algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군 (algebraic K-group) K.(-)이다.
이들은 주어진 환 R에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.
K군은 다양하게 정의할 수 있다.
.퀼런 플러스 구성 (Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다.
이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다.
대니얼 퀼런이 도입하였다.
.퀼런 Q-구성 (Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다.
Q-구성을 환 R위의 유한 생성 사영 가군 범주 fgProjModR에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
.발트하우젠 S-구성 (Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주 (Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다.
퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 bCh(E)는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠 (독: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.
K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년).
곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.
세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 “유한 차원 벡터 다발”은 유한 생성 사영 가군이다.
이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.
2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.
밀너는 이 구성을 고차 n에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다.
그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.
고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다.
퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.
이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠 (독: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.
- 모형 범주
호모토피 이론에서, 모형 범주 (模型範疇, model category)는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다.
위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다.
대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.
- 퀼런 수반 함자
호모토피 이론에서, 퀼런 수반 함자 (Quillen隨伴函子, Quillen adjunction)는 두 모형 범주 사이의 수반 함자 가운데, 모형 범주 구조와 호환되는 것이다.
대니얼 퀼런이 모형 범주의 개념과 함께 1967년에 도입하였다.
- 설리번 대수
호모토피 이론에서, 설리번 대수 (Sullivan代數, Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다.
이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분 (즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 유리수 호모토피 이론 (有理數homotopy理論, rational homotopy theory)이라고 한다.
데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.
- 퀼런 완전 범주
호몰로지 대수학에서, 퀼런 완전 범주 (Quillen完全範疇, Quillen-exact category)는 짧은 완전열의 개념이 부여된 가법 범주이며, 아벨 범주의 개념의 일반화이다.
아벨 범주의 짧은 완전열들이 만족시키는 성질들을 공리화하여 추상화한 개념이지만, 아벨 범주의 개념과 달리 사상들이 핵 및 여핵을 가질 필요가 없다.
퀼런 완전 범주 위에는 대수적 K이론을 취할 수 있다.
퀼런 완전 범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
.퀼런 완전 범주는 특별한 합성 가능 사상 순서쌍들의 모임이 주어진 가법 범주로 정의될 수 있다.
이 경우 이 사상 순서쌍들은 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.
.퀼런 완전 범주는 어떤 아벨 범주의 특별한 부분 가법 범주로 정의될 수 있다.
이 두 정의들은 서로 동치이다.
1958년에 알렉스 헬러 (Alex Heller)가 퀼런 완전 범주와 유사한 개념을 “아벨 범주” (abelian category)라는 이름으로 도입하였다 (이는 오늘날의 아벨 범주의 개념과 다르다).
1960년에 요네다 노부오가 “준아벨 S-범주” (quasi-abelian S-category)라는 이름으로 도입하였으며, 이 개념은 오늘날의 퀼런 완전 범주의 개념과 동치이다.
이후 1973년에 대니얼 퀼런이 대수적 K이론을 정의하기 위하여 같은 개념을 재발견하였으며, “완전 범주” (exact category)라는 이름을 도입하였다.
이후 다른 저자들이 “완전 범주”라는 같은 용어를 다른 뜻으로 사용했기 때문에, 혼란을 피하기 위하여 “퀼런 완전 범주”라고 불리게 되었다.
참고 = 위키백과
크리스천라이프 편집부